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<!DOCTYPE html>

<title>Eberhard Hopf</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Eberhard Hopf</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Eberhard Frederich Ferdinand Hopf</b> (* <a href="4._April" title="4. April">4. April</a> <a href="1902" title="1902">1902</a> in <a href="Salzburg" title="Salzburg">Salzburg</a>; † <a href="24._Juli" title="24. Juli">24. Juli</a> <a href="1983" title="1983">1983</a> in <a href="Bloomington_(Indiana)" title="Bloomington (Indiana)">Bloomington (Indiana)</a>) war ein <a href="Deutschamerikaner" title="Deutschamerikaner">deutschamerikanischer</a> <a href="Mathematiker" title="Mathematiker">Mathematiker</a>, der bedeutende Beiträge zu vielen Bereichen der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und insbesondere der <a href="Ergodentheorie" title="Ergodentheorie">Ergodentheorie</a> lieferte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Leben">Leben</h2></div>

<p>Eberhard Hopf wurde als Sohn des deutschen Kaufmanns und Schokoladenfabrikanten Friedrich Hopf in Salzburg, <a href="%C3%96sterreich" title="Österreich">Österreich</a> geboren. Er erhielt sein <a href="Abitur" title="Abitur">Abitur</a> 1920 am Gymnasium zu <a href="Berlin-Friedenau" title="Berlin-Friedenau">Berlin-Friedenau</a>, begann das Studium in Mathematik und Physik an der <a href="Humboldt-Universit%C3%A4t_zu_Berlin" title="Humboldt-Universität zu Berlin">Universität Berlin</a> und studierte 1924 ein <a href="Semester" title="Semester">Semester</a> in den gleichen Fächern an der <a href="Universit%C3%A4t_T%C3%BCbingen" class="mw-redirect" title="Universität Tübingen">Universität Tübingen</a>. Er <a href="Promotion_(Doktor)" title="Promotion (Doktor)">promovierte</a> 1926 (Prüfung Juli 1925)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> bei <a href="Erhard_Schmidt_(Mathematiker)" title="Erhard Schmidt (Mathematiker)">Erhard Schmidt</a> und <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a> (2. Gutachter)<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und <a href="Habilitation" title="Habilitation">habilitierte</a> sich 1929 an der Universität Berlin in mathematischer <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> und war dort Privatdozent. 1926 bis 1930 war er am Astronomischen Recheninstitut in Berlin-Dahlem. 1927 hatte er das <a href="Maximumprinzip_(Mathematik)" title="Maximumprinzip (Mathematik)">Maximumprinzip</a> für <a href="Elliptische_Differentialgleichung" class="mw-redirect" title="Elliptische Differentialgleichung">elliptische Differentialgleichungen</a> zweiter Ordnung bewiesen.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1929 heiratete er Ilse Wolf, Tochter des Musikwissenschaftlers <a href="Johannes_Wolf_(Musikwissenschaftler)" title="Johannes Wolf (Musikwissenschaftler)">Johannes Wolf</a>. Mit ihr hatte er eine Tochter Barbara (* 1936).

</p><p>1930 wurde Hopf Stipendiat der <a href="Rockefeller-Stiftung" title="Rockefeller-Stiftung">Rockefeller-Stiftung</a>, was ihm einen Aufenthalt an der <a href="Harvard_University" title="Harvard University">Harvard University</a> bei <a href="George_David_Birkhoff" title="George David Birkhoff">George David Birkhoff</a> und an der <a href="Universit%C3%A4t_Cambridge" class="mw-redirect" title="Universität Cambridge">Universität Cambridge</a> bis 1932 ermöglichte, wo er sich insbesondere mit Ergodentheorie befasste. Insbesondere die Publikation <i>On time average theorem in dynamics</i><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> wird von vielen als das erste gut verständliche Werk in moderner Ergodentheorie angesehen<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Ein weiterer wichtiger Beitrag aus dieser Zeit ist die <a href="Wiener-Hopf-Gleichung" class="mw-redirect" title="Wiener-Hopf-Gleichung">Wiener-Hopf-Gleichung</a>,<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> die er in Zusammenarbeit mit <a href="Norbert_Wiener" title="Norbert Wiener">Norbert Wiener</a> entwickelte; diese stellt eine Integralgleichung dar, die zum Beispiel in der Theorie des Strahlungsgleichgewichts von Sternatmosphären auftritt (ein Thema mit dem sich Hopf befasste) und wird in einer <a href="Diskretheit#Diskrete_Teilmenge_der_reellen_Zahlen" class="mw-redirect" title="Diskretheit">diskreten</a> Variante (<a href="Wiener-Filter" title="Wiener-Filter">Wiener-Filter</a>) seit etwa den 1960ern extensiv in der <a href="Nachrichtentechnik" title="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</a> und <a href="Geophysik" title="Geophysik">Geophysik</a> genutzt.

</p><p>Mit der Unterstützung von Norbert Wiener wurde Hopf 1931 <a href="Assistenzprofessor" class="mw-redirect" title="Assistenzprofessor">Assistenzprofessor</a> (Assistant Professor) an der mathematischen <a href="Fakult%C3%A4t_(Hochschule)" title="Fakultät (Hochschule)">Fakultät</a> des <a href="Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">Massachusetts Institute of Technology</a>. Auch hier widmete er sich hauptsächlich der Ergodentheorie. Er zeichnete sich in dieser Zeit schon durch seine Begabung aus, komplexe Sachverhalte für Kollegen und Fachfremde leicht verständlich zu erklären.

</p><p>Er kehrte im Jahr 1936 mit seiner Familie nach Deutschland zurück, als ihm die Nachfolge von <a href="Leon_Lichtenstein" title="Leon Lichtenstein">Leon Lichtenstein</a> außerordentlicher Professor an der <a href="Universit%C3%A4t_Leipzig" title="Universität Leipzig">Universität Leipzig</a> angeboten wurde, wo er 1936 bis 1944 Professor war. In dieser Zeit stellte er auch das Buch <i>Ergodentheorie</i> fertig, welches auf 81 Seiten eine prägnante Darstellung des Themas bietet. Aufgrund des Zweiten Weltkrieges wurde er 1942 zur Arbeit an der <a href="Deutsche_Forschungsanstalt_f%C3%BCr_Segelflug" title="Deutsche Forschungsanstalt für Segelflug">Deutschen Forschungsanstalt für Segelflug</a> (Luftfahrt Forschungsinstitut in <a href="Ainring" title="Ainring">Ainring</a>) verpflichtet, die mit kriegswichtigen Entwicklungen für die Luftwaffe beauftragt war. Auf Betreiben von <a href="Oskar_Perron" title="Oskar Perron">Oskar Perron</a> erhielt er 1944 jedoch eine Professur an der <a href="Universit%C3%A4t_M%C3%BCnchen" class="mw-redirect" title="Universität München">Universität München</a> als Nachfolger von <a href="Constantin_Carath%C3%A9odory" title="Constantin Carathéodory">Constantin Carathéodory</a>, die er bis 1949 innehatte. 1942 erschien seine Arbeit über die nach ihm benannte, aber bis auf <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> zurückgehende <a href="Hopf-Bifurkation" title="Hopf-Bifurkation">Hopf-Bifurkation</a>,<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> das Auftreten periodischer Lösungen bei einem stationären Zustand einer Evolutionsgleichung bei bestimmten kritischen Parameterwerten.

</p><p>Auf Einladung von <a href="Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a> begab er sich 1947 wieder in die Vereinigten Staaten (nach eigenen Worten als <i>Paper Clip</i> Wissenschaftler),<sup id="cite_ref-Denker_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Denker-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> wo er 1947/1948 Gastprofessor an der <a href="New_York_University" title="New York University">New York University</a> (<a href="Courant_Institute" class="mw-redirect" title="Courant Institute">Courant Institute</a>) war. Er blieb in den USA, weil er dort mehr Zeit zur Forschung hatte,<sup id="cite_ref-Denker_9-1" class="reference"><a href="#cite_note-Denker-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> nahm 1949 die US-Staatsbürgerschaft an und arbeitete ab 1948 an der <a href="Indiana_University" class="mw-redirect" title="Indiana University">Indiana University</a> als Professor, wo ihn die Zusammenarbeit mit <a href="Clifford_Truesdell" title="Clifford Truesdell">Clifford Truesdell</a> interessierte, er ab 1962 eine Forschungsprofessur hatte und wo er bis zu seiner Pensionierung 1972 blieb.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Seine Resultate zur Regularität und Analytizität der Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen in den 1920er und 1930er Jahren fanden als klassische Resultate Eingang in Lehrbücher. Mit dem nach ihm benannten <a href="Hopf'sches_Maximal-Ergodenlemma" class="mw-redirect" title="Hopf'sches Maximal-Ergodenlemma">Hopf’sche Maximal-Ergodenlemma</a> gelang es ihm 1954 den <a href="Individueller_Ergodensatz" title="Individueller Ergodensatz">individuellen Ergodensatz</a> auf Markoffsche Operatoren auszudehnen.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> In Zusammenhang mit der Ergodentheorie studierte er auch das Verhalten der geodätischen Kurven auf Flächen negativer Krümmung. Hopf leistete wichtige Beiträge zur Lösung der <a href="Navier-Stokes-Gleichungen" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> der <a href="Fluiddynamik" title="Fluiddynamik">Hydrodynamik</a> in zwei Dimensionen. 1948 gab er erstmals ein Modell einer zähen Flüssigkeit an mit turbulenten Lösungen.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1950 untersuchte er anhand der <a href="Burgersgleichung" title="Burgersgleichung">Burgersgleichung</a> die mathematischen Grundlagen von Stoßwellen.<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Auszeichnungen_und_Mitgliedschaften">Auszeichnungen und Mitgliedschaften</h2></div>

<p>Hopf wurde 1971 von der <a href="American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">American Mathematical Society</a> als <i><a href="Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Gibbs Lecturer</a></i> ausgezeichnet. 1981 erhielt er den <a href="Leroy_P._Steele_Prize" title="Leroy P. Steele Prize">Leroy P. Steele Prize</a> der American Mathematical Society.

</p><p>1939 wurde er einer der Herausgeber der <a href="Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften" title="Grundlehren der mathematischen Wissenschaften">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a> und 1952 bis 1983 war er Herausgeber des <i>Journal of Rational Mechanics and Analysis</i>.

</p><p>1938 wurde er zum Mitglied der <a href="S%C3%A4chsische_Akademie_der_Wissenschaften" title="Sächsische Akademie der Wissenschaften">Sächsischen Akademie der Wissenschaften</a> gewählt und 1945 der <a href="Bayerische_Akademie_der_Wissenschaften" title="Bayerische Akademie der Wissenschaften">Bayerischen Akademie der Wissenschaften</a>, in der er 1947 ordentliches und nach dem Weggang in die USA 1949 korrespondierendes Mitglied wurde.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schriften">Schriften</h2></div>

<p>Bücher:

</p>

<ul><li><i>Ergodentheorie.</i> Springer Verlag (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete), 1937, Reprint 1970</li>

<li><i>Mathematical problems of radiation equilibrium</i>, Cambridge University Press 1934, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mathematicalprob029085mbp/page/n8">Archive</a></li></ul>

<p>Aufsätze (Auswahl), außer die in den Fußnoten zitierten Aufsätze:

</p>

<ul><li>Zum analytischen Charakter der Lösungen regulärer zweidimensionaler Variationsprobleme, Mathematische Zeitschrift, Band 30, 1929, S. 404–413.</li>

<li>Über den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Mathematische Zeitschrift, Band 34, 1931, S. 193–233.</li>

<li>Complete Transitivity and the Ergodic Principle, Proc. Nat. Acad. Sci., Band 18, 1932, S. 204–209.</li>

<li>Proof of Gibbs Hypothesis on Statistical Equilibrium, Proc. Nat. Acad. Sci., Band 18, 1932, S. 333–340.</li>

<li>On Causality, Statistics and Probability, J. Math. Phys., Band 13, 1934, S. 51–102.</li>

<li>Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Abh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Band 91, 1939, S. 261–304.</li>

<li>Statistik der Lösungen geodätischer Probleme vom unstabilen Typus, Teil II., Mathematische Annalen, Band 117, 1940, S. 590–608.</li>

<li>Closed surfaces without conjugate points, Proc. Nat. Acad. Sci., Band 34, 1948, S. 47–51.</li>

<li>On S. Bernstein’s theorem on surfaces z(x,y) of nonpositive curvature, Proc. Am. Math. Soc., Band 1, 1950, S. 80–85.</li>

<li>Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen, Math. Nachrichten, Band 4, 1951, S. 213–231.</li>

<li>Statistical Hydromechanics and Functional Calculus, J. Rational Mechanics and Analysis, Band 1, 1952, S. 87–123.</li>

<li>Some topics of ergodic theory, C.I.M.E. Rom 1960, S. 1–64.</li>

<li>An inequality for positive linear integral operators, J. Math. & Mech., Band 12, 1963, S. 683–692.</li>

<li>Ergodic theory and the geodesic flow on surfaces of constant negative curvature, Bulletin Am. Math. Soc., Band 17, 1971, S. 863–877 (Gibbs Lecture 1971)</li></ul>

<p>Sammlungen von Schriften finden sich u. a. in:

</p>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/suche/?tx_goobit3_search%5Border%5D=0&tx_goobit3_search%5Blink%5D=1&tx_goobit3_search%5Bformquery%5D=Hopf%20Eberhard">Eine Reihe von Schriften sind über das Göttinger Digitalisierungszentrum online verfügbar.</a></li>

<li><a href="Cathleen_Synge_Morawetz" title="Cathleen Synge Morawetz">Cathleen Synge Morawetz</a>, <a href="James_Serrin" title="James Serrin">James Serrin</a>, <a href="Jakow_Grigorjewitsch_Sinai" title="Jakow Grigorjewitsch Sinai">Yakov Sinai</a>: <i>Selected Works of Eberhard Hopf with Commentaries</i>. Oxford University Press, 2003, ISBN 0-8218-2077-X.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><i>In memoriam Eberhard Hopf</i>. In: <i>Indiana University Math. J.</i>, 1983, Band 32, Nr. 6.</li>

<li>Herbert Becker: Nachruf. In: <i>Jahresbericht Akad. Wiss.</i>, Leipzig 1986.</li>

<li>M. Denker: <i>Eberhard Hopf</i>. In: <i>Jahresbericht DMV</i>, 1990, Band 92, Nr. 2.</li>

<li>Andrzej Icha: <i>Eberhard Hopf (1902–1983)</i>. In: <i>Nieuw Archief voor Wiskunde</i>, 1994, Band 12, Nr. 1–2.</li>

<li><a href="Heinz_Bauer_(Mathematiker)" title="Heinz Bauer (Mathematiker)">Heinz Bauer</a>: <i>Eberhard Hopf 17.4.1902–24.7.1983.</i> In: <i>Bayerische Akademie der Wissenschaften. Jahrbuch</i>, 1984. München 1984, S. 254–256; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.badw.de/fileadmin/nachrufe/Hopf%20Eberhard.pdf">badw.de</a> (PDF; 0,3 MB).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query=117712892">Literatur von und über Eberhard Hopf</a> im Katalog der <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">Deutschen Nationalbibliothek</a></li>

<li>John J. O’Connor, <a href="Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hopf_Eberhard/"><i>Eberhard Frederich Ferdinand Hopf.</i></a> In: <span lang="en"><i><a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor History of Mathematics archive</a></i></span> (englisch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://research.uni-leipzig.de/catalogus-professorum-lipsiensium/leipzig/Hopf_473">Eberhard Hopf</a> im <a href="Professorenkatalog_der_Universit%C3%A4t_Leipzig" title="Professorenkatalog der Universität Leipzig">Professorenkatalog der Universität Leipzig</a></li>

<li>Rita Meyer-Spasche: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.deutsche-biographie.de/pnd117712892.html#dbocontent"><span style="font-style:italic;">Hopf, Eberhard Friedrich Ferdinand (auch Hopf, Eberhard Frederich Ferdinand)</span>.</a> In: <i><a href="NDB-online" title="NDB-online">NDB-online</a></i>, 1. Oktober 2023.<span class="editoronly" style="display:none;"></span></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/authors/hopf.eberhard">Eberhard Hopf.</a> In: Datenbank <a href="ZbMATH" title="ZbMATH">zbMATH</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Eberhard Hopf: <i>Über die Zusammenhänge zwischen gewissen höheren Differenzenquotienten reeller Funktionen einer reellen Variablen und deren Differenzierbarkeitseigenschaften.</i> Norddeutsche Buchdr. u. Verlagsanst., Berlin 1926 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN271015810">sub.uni-goettingen.de</a>).</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathgenealogy.org/id.php?id=12959">Eberhard Hopf</a> im <a href="Mathematics_Genealogy_Project" title="Mathematics Genealogy Project">Mathematics Genealogy Project</a> (englisch) abgerufen am 21. April 2025  <span style="display:none">Vorlage:MathGenealogyProject/Wartung/name verwendet</span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Hopf: <i>Elementare Bemerkungen über die Lösung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus</i>. In: <i>Sitzungsberichte Preuß. Akad. Wiss.</i>, 1927, S. 147–152.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Hopf: <i>Bemerkungen zu einem Satz von S. Bernstein zur Theorie aus der elliptischen Differentialgleichungen</i>. In: <i>Math. Z.</i>, 1928, Band 29, S. 744–745.</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Eberhard Hopf: <i>On the time average theorem in dynamics.</i> In: <i><a href="Proceedings_of_the_National_Academy_of_Sciences" class="mw-redirect" title="Proceedings of the National Academy of Sciences">Proceedings of the National Academy of Sciences</a></i> USA, 1932, Band 18, S. 93–100.</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">John J. O’Connor, <a href="Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hopf_Eberhard/"><i>Eberhard Hopf.</i></a> In: <span lang="en"><i><a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor History of Mathematics archive</a></i></span> (englisch).</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Wiener, Hopf: <i>Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen</i>. In: <i>Sitzungsberichte Preuß. Akad. Wiss.</i>, Math.-Phys. Klasse, 1931, S. 696–706.</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Hopf: <i>Abzweigung einer periodischen Lösung eines Differentialsystems</i>. In: <i>Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Sächs. Akad. Wiss. Leipzig</i>, 1942, Band 94, S. 1–22.</span>

</li>

<li id="cite_note-Denker-9"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Denker_9-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Denker_9-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">M. Denker: <i>Eberhard Hopf</i>. In: <i>Jahresbericht DMV</i>, 1990, Band 92, Nr. 2, S. 48.</span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www5.in.tum.de/lehre/seminare/math_nszeit/SS03/vortraege/muench/kurzbiographie_eberhardt_hopf.htm">Kurzbiografie und Bild.</a> in.tum.de</span>

</li>

<li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">E. Hopf: <i>The General Temporally Discrete Markoff Process</i>. In: <i>Journal of Rational Mechanics and Analysis</i>, 1954, Vol. 3, S. 13–45.</span>

</li>

<li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Hopf: <i>A mathematical example displaying features of turbulence</i>. In: <i>Comm. on Pure Appl. Math</i>, 1948, Band 1, S. 303–320.</span>

</li>

<li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text">Hopf: <i>The partial differential equation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\mu u_{xx}}">

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</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Person): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/117712892">117712892</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/n90649329">n90649329</a></span> | <a href="Virtual_International_Authority_File" title="Virtual International Authority File">VIAF</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://viaf.org/viaf/74001062/">74001062</a></span> | </div>

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